Bài Tập Toán 11 Trang 28

Hướng dẫn giải bài §2. Phương trình lượng giác cơ bản, Chương I. Hàm con số giác và phương trình lượng giác, sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Nội dung bài bác giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 28 29 sgk Đại số với Giải tích 11 bao hàm tổng vừa lòng công thức, lý thuyết, phương thức giải bài xích tập đại số cùng giải tích tất cả trong SGK sẽ giúp các em học viên học xuất sắc môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Bài tập toán 11 trang 28

Lý thuyết

1. Phương trình $sinx = a$

*

Nếu (|a|>1): Phương trình vô nghiệm.

Nếu (|a|leq 1):

(sin x = sin alpha Leftrightarrow left< eginarrayl x = alpha + k2pi \ x = pi – alpha + k2pi endarray ight.left( k in mathbbZ ight))

(sin x = sin eta ^0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = eta ^0 + k360^0\ x = 180^0 – eta ^0 + k360^0 endarray ight.left( k inmathbbZ ight))

(sin x = a Leftrightarrow left< eginarrayl x = arcsin a + k2pi \ x = pi – arcsin a + k2pi endarray ight.left( k in mathbbZ ight))​

Tổng quát:

(sin fleft( x ight) = sin gleft( x ight) Leftrightarrow left< eginarrayl fleft( x ight) = gleft( x ight) + k2pi \ fleft( x ight) = pi – gleft( x ight) + k2pi endarray ight.,,left( k inmathbbZ ight))

Các ngôi trường hợp sệt biệt:

(eginarrayl oplus ,,,sin x = 1 Leftrightarrow x = fracpi 2 + k2pi ,,,left( k in mathbbZ ight)\ oplus ,,,sin x = – 1 Leftrightarrow x = – fracpi 2 + k2pi ,,,left( k inmathbbZ ight)\ oplus ,,,sin x = 0 Leftrightarrow x = kpi ,,,left( k inmathbbZ ight) endarray)

2. Phương trình $cosx = a$

*

Nếu (|a|>1): Phương trình vô nghiệm.

Nếu (|a|leq 1):

(cos x = cos alpha Leftrightarrow x = pm alpha + k2pi left( k inmathbbZ ight))

(cos x = cos eta ^0 Leftrightarrow x = pm eta ^0 + k360^0left( k in mathbbZ ight))

(cos x = a Leftrightarrow x = pm ,arcc mosa + k2pi left( k in mathbbZ ight))

Tổng quát:

(cos fleft( x ight) =cos gleft( x ight) Leftrightarrow fleft( x ight) = pm gleft( x ight) + k2pi ,,left( k in mathbbZ ight))

Các trường hợp sệt biệt:

(eginarrayl oplus ,,,cos x = 1 Leftrightarrow x = k2pi ,,,left( k inmathbbZ ight)\ oplus ,,,cos x = – 1 Leftrightarrow x = pi + k2pi ,,,left( k inmathbbZ ight)\ oplus ,,,cos x = 0 Leftrightarrow x = fracpi 2 + kpi ,,,left( k in mathbbZ ight) endarray)

3. Phương trình $tanx = a$

*

(eginarrayl oplus an x = mathop m t olimits manalpha Leftrightarrow ,x, m = ,alpha + kpi ,,,,left( k inmathbbZ ight)\ oplus an x = mathop m t olimits maneta ^0 Leftrightarrow ,x m = eta ^0 + k m18 m0^0,,,,left( k in mathbbZ ight)\ oplus an x = a Leftrightarrow x m = arctan a, + kpi ,,,,left( k inmathbbZ ight) endarray)

Tổng quát:

( an fleft( x ight) = an gleft( x ight) Leftrightarrow fleft( x ight) = gleft( x ight) + kpi ,,left( k in mathbbZ ight))

4. Phương trình $cotx = a$

*

(eginarrayl oplus cot x = cot alpha Leftrightarrow mx,, m = ,alpha , m + , mkpi ,,,,left( k in mathbbZ ight)\ oplus cot x = cot eta ^0 Leftrightarrow mx,, m = ,eta ^0 m + , mk18 m0^0,,,,left( k inmathbbZ ight)\ oplus cot x = a Leftrightarrow mx,, m = mathop m arc olimits cot ,a, m + , mkpi ,,,,left( k inmathbbZ ight) endarray)

Tổng quát:

(cot fleft( x ight) = cot gleft( x ight) Leftrightarrow fleft( x ight) = gleft( x ight) + kpi ,,left( k in mathbbZ ight))

Dưới đấy là phần phía dẫn vấn đáp các thắc mắc và bài xích tập trong phần buổi giao lưu của học sinh sgk Đại số cùng Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời thắc mắc 1 trang 18 sgk Đại số với Giải tích 11

Tìm một giá trị của $x$ sao để cho $2sinx – 1 = 0.$

Trả lời:

Ta có: $2sinx – 1 = 0 ⇒ sin x =$ (1 over 2)

⇒ một cực hiếm của $x$ làm thế nào cho $2sinx – 1 = 0$ là $x =$ (pi over 6)

2. Trả lời thắc mắc 2 trang 19 sgk Đại số với Giải tích 11

Có quý giá nào của $x$ thỏa mãn phương trình $sinx = -2$ không?

Trả lời:

Không có mức giá trị nào của $x$ vừa lòng phương trình $sinx = -2$

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 21 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

(eqalign& a),mathop m s olimits minx = 1 over 3 cr& b),sin (x + 45^0) = – sqrt 2 over 2 cr )

Trả lời:

a) Ta có:

$sin⁡x =$ (1 over 3) khi x = arcsin (1 over 3)

Vậy phương trình $sin⁡x =$ (1 over 3) có các nghiệm là:

$x = arcsin$ (1 over 3) $+ k2π, k ∈ Z$ và $x = π – arcsin$ (1 over 3) $+ k2π, k ∈ Z$

b) Ta có: ( – sqrt 2 over 2) = sin⁡(-45o) nên:

sin⁡(x + 45o ) = ( – sqrt 2 over 2) ⇔ sin⁡(x+45o) = sin⁡(-45o)

Khi đó x + 45o = -45o + k360o, $k ∈ Z ⇒ x =$ -45o – 45o + k360o, $k ∈ Z$

và x + 45o = 180o – (-45o ) + k360o, $k ∈ Z ⇒ x =$ 180o – (-45o ) – 45o + k360o, $k ∈ Z$

Vậy: $x =$ -90o + k360o, $k ∈ Z$ cùng $x =$ 180o + k360o, $k ∈ Z$

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 23 sgk Đại số với Giải tích 11

Giải những phương trình sau:

(eqalign& a),cos x = – 1 over 2 cr& b),cos x = 2 over 3 cr& c),cos (x + 30^0) = sqrt 3 over 2 cr )

Trả lời:

a) Ta có:

( – 1 over 2) = cos (2pi over 3) bắt buộc cos ⁡x = ( – 1 over 2) ⇔ cos ⁡x = cos (2pi over 3)

$⇒ x = ± 2pi over 3 + k2π, k ∈ Z$

b) Ta có:

$cos ⁡x = 2 over 3$

$⇒ x = ± arccos 2 over 3 + k2π, k ∈ Z$

c) Ta có:

(sqrt 3 over 2) = cos30o nên cos⁡(x + 30o )= (sqrt 3 over 2)

$⇔ cos⁡(x +$ 30o ) =$ cos$ 30o

⇔ x + 30o = ±30o + k360o, $k ∈ Z$

⇔ x = k360o, k ∈ Z cùng x = -60o + k360o, k ∈ Z

5. Trả lời thắc mắc 5 trang 24 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) $tanx = 1$;

b) $tanx = -1$;

c) $tanx = 0$.

Trả lời:

Ta có:

a) $tan⁡ x = 1 ⇔ tan⁡ x = tan⁡ pi over 4$

$⇔ x = pi over 4 + kπ, k ∈ Z$

b) $tan⁡ x = -1 ⇔ tan⁡ x = tan⁡ – pi over 4 $

$⇔ x = – pi over 4 + kπ, k ∈ Z$

c) $tan⁡ x = 0 ⇔ tan⁡ x = tan⁡ 0$

$⇔ x = kπ, k ∈ Z$

6. Trả lời thắc mắc 6 trang 26 sgk Đại số với Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) $cotx = 1$;

b) $cotx = -1$;

c) $cotx = 0$.

Trả lời:

Ta có:

a) $cot⁡ x = 1 ⇔ cot⁡ x = cot⁡ pi over 4$

$⇔ x = pi over 4 + kπ, k ∈ Z$

b) $cot⁡ x = -1 ⇔ cot⁡ x = cot⁡ – pi over 4$

$⇔ x = – pi over 4 + kπ,k ∈ Z$

c) $cot⁡ x = 0 ⇔ cot⁡ x = cot⁡ pi over 2$

$⇔ x = pi over 2 + kπ, k ∈ Z$

Dưới đấy là phần lí giải giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 trang 28 29 sgk Đại số cùng Giải tích 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

sabiasquee.online reviews với chúng ta đầy đủ phương pháp giải bài tập đại số và giải tích 11 kèm bài giải đưa ra tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 28 29 sgk Đại số cùng Giải tích 11 của bài xích §2. Phương trình lượng giác cơ bản trong Chương I. Hàm con số giác và phương trình lượng giác cho chúng ta tham khảo. Nội dung cụ thể bài giải từng bài bác tập các bạn xem bên dưới đây:

*
Giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 trang 28 29 sgk Đại số với Giải tích 11

1. Giải bài xích 1 trang 28 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) (small sin (x + 2) =frac13)

b) (small sin 3x = 1)

c) (small sin (frac2x3 -fracpi3) =0)

d) (small sin (2x + 20^0) =-fracsqrt32)

Bài giải:

a) (sin (x + 2) =frac13Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix x+2=arcsin frac13+k2 pi, k in mathbbZ\ \ x+2=pi -arcsin frac13+k2 pi, k in mathbbZ endmatrix)

(Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix x=arcsin frac13-2+k2 pi, kin mathbbZ\ \ x=pi – arcsin frac13-2+k2 pi, kin mathbbZ endmatrix)

Vậy nghiệm của phương trình là: (x=arcsin frac13-2+k2 pi (kin mathbbZ)) và (x=pi – arcsin frac13-2+k2 pi (kin mathbbZ))

b) (sin 3x = 1 Leftrightarrow sin3x=sinfracpi 2)

(Leftrightarrow 3x=fracpi 2+k2 pi ,kin mathbbZ)

(Leftrightarrow x=fracpi 6+frack2 pi3,(kin mathbbZ))

Vậy nghiệm của phương trình là: (x=fracpi 6+frack2 pi3,(kin mathbbZ))

c) (sinleft ( frac2x3-fracpi 3 ight )=0 Leftrightarrow frac2x3-fracpi 3= kpi, kin mathbbZ)

(Leftrightarrow frac2pi 3=fracpi 3+k pi,kin mathbbZ)

(Leftrightarrow x=fracpi 2+frac3kpi 2, kin Z)

Vậy nghiệm của phương trình là: (x=fracpi 2+k.frac3pi 2, kin Z)

d) (sin(2x+20^0)=-fracsqrt32Leftrightarrow sin (2x +20^0) = sin(-60^0))

(Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix 2x+20^0=-60^0+k360^0, kin mathbbZ\ \ 2x+20^0=204^0+k360^0, kin mathbbZ endmatrix)

(Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix x=-40^0+k180^0, kin mathbbZ\ \ x=110^0+k180^0, kin mathbbZ endmatrix)

Vậy nghiệm của phương trình là: (x=-40^0+k180^0, (kin mathbbZ); x=110^0+k180^0, (kin mathbbZ))

2. Giải bài 2 trang 28 sgk Đại số và Giải tích 11

Với số đông giá trị nào của x thì giá bán trị của những hàm số $y = sin 3x$ và $y = sin x$ bởi nhau?

Bài giải:

Giá trị của các hàm (y=sin3x) cùng (y=sinx) bằng nhau khi và chỉ còn khi:

(sin3x=sinxLeftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix 3x=x+k2pi, (kin mathbbZ)\ \ 3x= pi-x+k2 pi, (kin mathbbZ) endmatrix)

(Leftrightarrow Bigg lbrack eginmatrix x=kpi , (kin mathbbZ)\ \ x=fracpi 4+kfracpi 2 , (kin mathbbZ) endmatrix)

Vậy với (x=kpi , (kin mathbbZ)) hoặc (x=fracpi 4+kfracpi 2 , (kin mathbbZ)) thì sin3x = sinx.

3. Giải bài bác 3 trang 28 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải những phương trình sau:

a) (small cos (x – 1) =frac23)

b) (small cos 3x = cos 12^0)

c) (small cos (frac3x2-fracpi4)=-frac12)

d) (cos ^22x = frac14).

Xem thêm: Kiểm Tra Ip Trong Mạng Lan Công Ty Hoặc Gia, Hướng Dẫn Tìm Địa Chỉ Ip Trong Mạng Lan

Bài giải:

a) Ta có:

(cos (x – 1) = frac23 Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix x – 1 = arccos frac23 + k2pi\ \ x – 1 = – arccos frac23 + k2pi endmatrix)

(Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix x = 1 + arccos frac23 + k2pi , (k in Z) \ \ x = 1 – arccos frac23 + k2pi , (k in Z). endmatrix)

Vậy nghiệm phương trình là: (x = 1 + arccos frac23 + k2pi , (k in Z)) hoặc (x = 1 – arccos frac23 + k2pi , (k in Z).)

b) (cos 3x = cos 120^0Leftrightarrow 3x = pm 12^0 + k360^0 (kin mathbbZ))

(Leftrightarrow x = pm 4^0 + k120^0 , (k in Z).)

Vậy nghiệm phương trình là: (x = pm 4^0 + k120^0 , (k in Z).)

c) Ta có:

(cosleft ( frac3x2-fracpi 4 ight )=-frac12Leftrightarrow cosleft ( frac3x2-fracpi 4 ight )=cosleft ( pi -fracpi 3 ight ))

(Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix frac3x2-fracpi 4=frac2pi 3+k2 pi\ \ frac3x2-fracpi 4=-frac2pi 3+k2 pi endmatrix,(kin mathbbZ))

(Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix x=frac11pi 18+k.frac4pi 3 \ \ x=-frac5pi18+k.frac4pi 3 endmatrix,(kin mathbbZ))

Vậy nghiệm phương trình là: (x=frac11pi 18+frac4 kpi 3) và (x=-frac5pi18+frac4 kpi 3 (kin mathbbZ))

d) Ta có:

(cos^22x =frac14Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix cos2x=frac12\ \ cos2x=-frac12 endmatrixLeftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix cos2x=cos fracpi 3\ \ cos2x= cosfrac2pi 3 endmatrix)

(Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix 2x=pm fracpi 3 + k2 pi\ \ 2x=pm frac2pi 3 + k2 pi endmatrix, kin mathbbZ Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix x= pm fracpi 6 +k pi\ \ x= pm fracpi 3 +k pi endmatrix, kin mathbbZ)

Vậy nghiệm phương trình là: (x= pm fracpi 6 +k pi)và (x= pm fracpi 3 +k pi, kin mathbbZ).

4. Giải bài bác 4 trang 29 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Giải phương trình (small frac2cos2x1-sin2x=0).

Bài giải:

Điều khiếu nại (sin2x eq 1Leftrightarrow 2x eq fracpi 2+k2 piLeftrightarrow x eq fracpi 4+k pi(kin mathbbZ))

(frac2cos2x1-sin2x=0Leftrightarrow 2cos2x=0)

Phương trình đang cho tương đương với:

(cos2x=0 Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix 2x=fracpi 2+k2pi\ \ 2x=-fracpi 2+k2pi endmatrix Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix x=fracpi 4+kpi (loai)\ \ x=-fracpi 4+kpi (kin mathbbZ) endmatrix)

Vậy nghiệm phương trình là: (x=-fracpi 4+kpi (kin mathbbZ)).

5. Giải bài xích 5 trang 29 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) (small tung (x – 150) = fracsqrt33);

b) (small cot (3x – 1) = -sqrt3);

c) (small cos 2x . Tung x = 0);

d) (small sin 3x . Cot x = 0).

Bài giải:

a) Điều khiếu nại (x – 15^0 eq 90^0+k180^0) giỏi (x eq 105^0+k.180^0.)

(tan (x – 15^0) = fracsqrt33Leftrightarrow tan(x-15^0)=tan30^0), cùng với điều kiện:

Ta gồm phương trình (tan (x – 15^0) = tan30^0)

(Leftrightarrow x – 15^0 = 30^0 + k180^0 , (k in mathbbZ).)

(Leftrightarrow x = 45^0 + k180^0 , (k in mathbbZ).) (thoả điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là: (x = 45^0 + k180^0 , (k in mathbbZ).)

b) (cot (3x – 1) = -sqrt3), với đk (3x-1 eq kpi (kin mathbbZ)) hay (x eq frac1+k pi3(kin mathbbZ))

Ta tất cả phương trình (cot (3x – 1) = cot(-fracpi 6))

(Leftrightarrow 3x-1=-frac5pi 6+k pi, kin mathbbZ)

(Leftrightarrow x=frac13-fracpi 18+k.fracpi 3,(kin mathbbZ)) (thoả điều kiện)

Vậy nghiệm phương trình là (x=frac13-fracpi 18+k.fracpi 3,(kin mathbbZ))

c) (cos2x.tanx=0 Leftrightarrow cos 2x.fracsin xcos x = 0), với điều kiện (cosx eq 0)

(Leftrightarrow x eq fracpi 2+kpi (kin mathbbZ)), ta bao gồm phương trình: (cos2x . Sinx = 0)

(Leftrightarrow igg lbrackeginmatrix cos2x=0\ sin2x=0 endmatrixLeftrightarrow igg lbrackeginmatrix 2x=fracpi 2+kpi \ x=kpi endmatrix(kin mathbbZ))

(Leftrightarrow igg lbrackeginmatrix x=fracpi 4+k.fracpi 2\ x=k pi endmatrix(kin mathbbZ)) (thoả điều kiện)

Vậy nghiệm phương trình là: (x=fracpi 4+k.fracpi 2(kin mathbbZ)) hoặc (x=kpi (kin mathbbZ))

d) (sin 3x . Cot x = 0 Leftrightarrow sin 3x.fraccos xsin x = 0), với đk (sinx eq 0Leftrightarrow x eq k.2pi (kin mathbbZ))

Ta bao gồm phương trình sin3x.cos = 0

(Leftrightarrow igg lbrackeginmatrix sin3x=0\ cosx=0 endmatrixLeftrightarrow igg lbrackeginmatrix 3x=k2pi\ x=fracpi 2+kpi endmatrix (kin mathbbZ))

(Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix x=frack2 pi3\ \ x=fracpi 2+k pi endmatrix(k in mathbbZ))

So sánh với đk ta thấy khi (k = 3m,m in mathbbZ) thì (x = 2mpi Rightarrow sin x = 0) ko thỏa điều kiện.

Vậy phương trình có nghiệm là: (x=frack2 pi3) và (x=fracpi 2+k pi (k eq 3m, min mathbbZ))

6. Giải bài 6 trang 29 sgk Đại số và Giải tích 11

Với gần như giá trị làm sao của x thì giá chỉ trị của những hàm số (small y = chảy ( fracpi4- x)) cùng (small y = tan2x) bởi nhau?

Bài giải:

Giá trị của các hàm số: (tanleft ( fracpi 4-x ight )) cùng (y=tan 2x) bằng nhau khi còn chỉ khi:

(eginarrayl,,,,, an left( fracpi 4 – x ight) = an 2x\DK:,,left{ eginarraylfracpi 4 – x e fracpi 2 + mpi \2x e fracpi 2 + mpiendarray ight. Leftrightarrow left< eginarraylx e – fracpi 4 + mpi \x e fracpi 4 + fracmpi 2endarray ight.\Leftrightarrow x e fracpi 4 + fracmpi 2,,left( m in Z ight)endarray)

Khi kia phương trình tương đương với:

(eginarrayl,,,,,,,2x = fracpi 4 – x + kpi \Leftrightarrow 3x = fracpi 4 + kpi \Leftrightarrow x = fracpi 12 + frackpi 3,,,left( k in Z ight)endarray)

Kết hợp đk ta có:

(eginarrayl,,,,,,fracpi 12 + frackpi 3 e fracpi 4 + fracmpi 2\Leftrightarrow frackpi 3 e fracmpi 2 + fracpi 6\Leftrightarrow k e frac3m + 12,,,left( k,m in Z ight)endarray)

Vậy phương trình gồm nghiệm: (x = fracpi 12 + frackpi 3,,,left( k e frac3m + 12,,,left( k,m in Z ight) ight))

7. Giải bài 7 trang 29 sgk Đại số với Giải tích 11

Giải những phương trình sau:

a) (sin 3x – cos 5x = 0);

b) (small chảy 3x . Chảy x = 1).

Bài giải:

a) (sin 3x – cos 5x = 0 Leftrightarrow cos 5x = sin 3x)

(Leftrightarrow cos 5x = cos (fracpi 2 – 3x))

(Rightarrow Bigg lbrackeginmatrix 5x= fracpi 2-3x+k2 pi \ \ 5x =- fracpi 2+3x +k2 pi endmatrix (kin mathbbZ))

(Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix x=fracpi 16+frackpi 4 \ \ x=-fracpi 4 +kpi endmatrix, (kin Z))

Vậy nghiệm phương trình là: (x=fracpi 16+frackpi 4 (kin Z)) với (x=-fracpi 4 +kpi, (kin mathbbZ))

b) (tan 3x . Tung x = 1)

Điều kiện: (left{eginmatrix cos3x eq 0\ \ cosx eq 0 endmatrix ight.Leftrightarrow left{eginmatrix x eq fracpi 6+k.fracpi 3\ \ x eq fracpi 2 +k.pi endmatrix ight. (kin mathbbZ))

(tan3x.tanx=1Rightarrow tan3x=frac1tanxRightarrow tan3x=cotx)

(Rightarrow tan3x=tanleft ( fracpi 2-x ight ))

(Rightarrow 3x=fracpi 2-x+k pi(kin mathbbZ))

(Rightarrow x=fracpi 8+frack pi 4, k in mathbbZ) (thoả điều kiện)

Vậy nghiệm phương trình là (x=fracpi 8+frack pi 4, k in mathbbZ).

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn làm bài xuất sắc cùng giải bài bác tập sgk toán lớp 11 cùng với giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 trang 28 29 sgk Đại số với Giải tích 11!